海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （文）
参考答案及评分标准 2014．1
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
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答案 |
B |
A |
C |
A |
C |
B |
D |
B |
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
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9． 2 |
10． 16 |
11. 7 |
|
12．  |
13． 50，1015 |
14．  ;①②③ |
共30分）
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ） . ------------------------3分
（Ⅱ）由 得 .
因为
 ------------------------------------5分
 ， -------------------------------------7分
所以 的最小正周期 . -------------------------------------9分
因为函数 的对称轴为 , ------------------------------11分
又由 ,得 ,
所以 的对称轴的方程为 .-----------------------------------13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由上图可得 ,
所以 . ----------------------------------4分
（Ⅱ）设事件A为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.
所以 . ----------------------------------9分
（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分
 17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为底面 是菱形，
所以  . ----------------------------1分
又因为 平面 ， -------------------3分
所以 平面 . --------------------------4分
（Ⅱ）因为 ，点 是棱 的中点，
所以 . ----------------------------------5分
因为平面 平面 ,平面 平面  , 平面 ,
----------------------------------7分
所以 平面 , ------------------------------------8分
因为 平面 ,
所以 . ------------------------------------9分
（Ⅲ）因为 ，点 是棱 的中点，
所以 . --------------------------------10分
由（Ⅱ）可得 ， ---------------------------------11分
所以 平面 ， --------------------------------13分
又因为 平面 ,
所以平面 平面 . --------------------------------14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ） , . -------------------------------2分
因为函数 是区间 上的增函数，
所以 ，即 在 上恒成立.------------------------------3分
因为 是增函数，
所以满足题意只需 ，即 . -------------------------------5分
（Ⅱ）令 ，解得 -------------------------------6分
 的情况如下：
--------------------------------------10分
①当 ，即 时， 在 上的最小值为 ，
若满足题意只需 ，解得 ，
所以此时， ； --------------------------------------11分
②当 ，即 时， 在 上的最小值为 ，
若满足题意只需 ，求解可得此不等式无解，
所以 不存在； ------------------------12分
③当 ，即 时， 在 上的最小值为 ,
若满足题意只需 ，解得 ,
所以此时， 不存在. ------------------------------13分
综上讨论，所求实数 的取值范围为 .
19. （本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意可得 ， ----------------------------------1分
又由题意可得 ，
所以 ， ----------------------------------2分
所以 , ----------------------------------3分
所以椭圆 的方程为 . ---------------------------------4分
所以椭圆 的右顶点 ， --------------------------------5分
代入圆 的方程，可得 ,
所以圆 的方程为 . ------------------------------6分
（Ⅱ）法1：
假设存在直线 :  满足条件， -----------------------------7分
由 得 ----------------------------8分
设 ，则 , ---------------------------------9分
可得中点 ， --------------------------------11分
由点 在圆 上可得
化简整理得 --------------------------------13分
又因为 ，
所以不存在满足条件的直线 . --------------------------------14分
（Ⅱ）法2：
假设存在直线 满足题意.
由（Ⅰ）可得 是圆 的直径， -----------------------------7分
所以 . ------------------------------8分
由点 是 中点，可得 . --------------------------------9分
设点 ，则由题意可得 . --------------------------------10分
又因为直线 的斜率不为0，所以 , -------------------------------11分
所以 ,-------------------------------13分
这与 矛盾，所以不存在满足条件的直线 . --------------------------14分
20. （本小题共13分）
解：（Ⅰ）只有 是N函数. ----------------------------3分
（Ⅱ）函数 是N函数.
证明如下：
显然， ， . ---------------------------------------4分
不妨设 ,
由 可得 ，
即 .
因为 ，恒有 成立，
所以一定存在 ，满足 ，
所以设 ，总存在 满足 ，
所以函数 是N函数. ---------------------------------------8分
（Ⅲ）（1）当 时，有 ，
所以函数 都不是N函数. ---------------------------9分
（2）当 时，① 若 ，有 ，
所以函数 都不是N函数. ------------------10分
② 若 ，由指数函数性质易得
 ，
所以 ，都有
所以函数 都不是N函数. -----------------11分
③ 若 ，令 ，则 ，
所以一定存在正整数 使得  ，
所以 ，使得 ，
所以 .
又因为当 时， ,所以 ；
当 时， ,所以 ，
所以 ，都有 ，
所以函数 都不是N函数.------------------13分
综上所述，对于任意实数 ，函数 都不是N函数.
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