海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理）
参考答案及评分标准 2014．1
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
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答案 |
D |
D |
A |
B |
A |
C |
B |
D |
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，
共30分）
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9． 2 |
10．  |
11.  ；4 |
|
12．  |
13．  |
14．  ；①②③ |
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由 得 .
因为,
 -----------------------------------2分
 ， -------------------------------------4分
因为在 中， ，
所以 ， -------------------------------------5分
所以 , ------------------------------------7分
所以 . -----------------------------------8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ,
所以 的最小正周期 . -----------------------------------10分
因为函数 的对称轴为 , -----------------------------------11分
又由 ,得 ,
所以 的对称轴的方程为 . ----------------------------------13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由上图可得 ,
所以 . --------------------------------3分
（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为
 ----------------------------------4分
由题意可知随机变量 的取值为：0,1,2,3. ----------------------------------5分
事件“ ”的含义是在3次射击中，恰有k次击中目标靶的环数不低于8环.
  ----------------------------------8分
即 的分布列为
所以 的期望是 . ------------------------10分
（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分
17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为底面 是菱形， ,
所以 为 中点. -------------------------------------1分
又因为 ,
所以 , ---------------------------------------3分
所以 底面 . ----------------------------------------4分
  （Ⅱ）由底面 是菱形可得 ,
又由（Ⅰ）可知 .
如图，以 为原点建立空间直角坐标系 .
由 是边长为2的等边三角形， ，
可得 .
所以 . ---------------------------------------5分
所以 , .
由已知可得 -----------------------------------------6分
设平面 的法向量为 ，则
 即
令 ，则 ，所以 . ----------------------------------------8分
因为 ， ----------------------------------------9分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 . -----------------------------------------10分
（Ⅲ）设   ，则
 . ---------------------------------11分
若使 ∥平面 ，需且仅需 且 平面 ，---------------------12分
解得 , ----------------------------------------13分
所以在线段 上存在一点 ，使得 ∥平面 .
此时 = . -----------------------------------14分
18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ） ， . ------------------------------------------2分
当 时， , 的情况如下表：
所以，当 时，函数 的极小值为 . -----------------------------------------6分
（Ⅱ） .
①当 时， 的情况如下表：
--------------------------------7分
因为 , ------------------------------8分,
若使函数 没有零点，需且仅需 ，解得 ,-------------------9分
所以此时 ； -----------------------------------------------10分
②当 时， 的情况如下表：
--------11分
因为 ,且 ,---------------------------12分
所以此时函数 总存在零点. --------------------------------------------13分
综上所述，所求实数 的取值范围是 .
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意得 , ---------------------------------------1分
由 可得 , ------------------------------------------2分
所以 , -------------------------------------------3分
所以椭圆的方程为 . ---------------------------------------------4分
（Ⅱ）由题意可得点 , ------------------------------------------6分
所以由题意可设直线 , . ------------------------------------------7分
设 ，
由 得 .
由题意可得 ,即 且 . -------------------------8分
 . -------------------------------------9分
因为 -----------------------------------10分
 ， ---------------------------------13分
所以直线 关于直线 对称. ---------------------------------14分
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分
（Ⅱ）函数 不是等比源函数. ------------------------------------4分
证明如下：
假设存在正整数 且 ，使得 成等比数列，
 ，整理得 ， -------------------------5分
等式两边同除以 得 .
因为 ，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，
所以等式 不可能成立，
所以假设不成立，说明函数 不是等比源函数. -----------------------------8分
（Ⅲ）法1：
因为 ，都有 ，
所以 ，数列 都是以 为首项公差为 的等差数列.
 ， 成等比数列，
因为 ，
 ，
所以  ，
所以 ，函数 都是等比源函数. -------------------------------------------13分
（Ⅲ）法2：
因为 ，都有 ，
所以 ，数列 都是以 为首项公差为 的等差数列.
由 ，（其中 ）可得
 ，整理得
 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，数列 中总存在三项 成等比数列.
所以 ，函数 都是等比源函数.-------------------------------------------13分
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